位元、位元組

位元 (Bit)

電腦是透過電來操作，而電路的狀態可以簡單的用 0 (斷電) 或 1 (通電) 來表示，因此一個表示 0 或 1 的單位我們稱為一個 位元

一筆資料裡最大的位元 (Most Significant Bit)，習慣上簡稱為 MSB ，最小的位元 (Least Significant Bit)，習慣上簡稱為 LSB

位元組 (Byte)

習慣上我們會把 8 個位元做為一組，當成一個單位，稱為 位元組

位元組順序 (Byte order)

當一筆資料用不只一個位元組來表示的時候，不同的位元組之間會有誰先誰後的順序問題。像是 1234 這個數字，習慣上我們會從左到右寫成 1234，不過有些中式寫法也可能從右到左寫，變成 4321。因此根據從比較大的位數 (1) 開始或從比較小的位數 (4) 開始的不同，可以分成以下兩種

• big-endian

  比較大的位元組 -> 比較小的位元組，在日常生活中、網路，或是某些作業系統比較常使用

• little-endian

  比較小的位元組 -> 比較大的位元組，在大部份的作業系統比較常使用

假設一個以16進位表示的整數 0x12ABCDEF, 在 big-endian 的系統會排列成 0x12ABCDEF，little-endian 的系統會排列成 0xEFCDAB12

* 注意一個 16 進位的數字只有 4 位元，所以一個位元組會有 2 個 16 進位的數字

WebAssembly 的規範中一律採用 little-endian 排列方式

整數 (Integer)

我們生活中使用的整數是 10 進位整數，然而在電腦中是以 0 和 1 表示各種資料，所以使用 2 進位整數。一筆整數資料中可能會利用一個位元表示正負號，或是沒有正負號，因此分為 有號整數 和 無號整數

無號整數

沒有表示正負號的位元，直接使用整數的二進位表示 $0 \sim 2^{31} - 1$ 之間的 正整數

有號整數

有表示正負號的位元，習慣上會用 MSB 表示正負號，所以能表示$-2^{31} \sim 2^{31}-1$之間的整數

1 補數 (1's Complement)

電腦上的減法是用"加負數"的方式實作，為了方便運算，在負數的部份我們可以把正數做位元反轉，像是 8 位元的 00000001 (1) 取負數之後就變成 11111110 (-1)，這種表示負數的方式稱為 1 補數。

以 8 位元的 1 - 2 為例，用 1 補數的運算會變成

00000001 (1) + 11111101 (-2) = 11111110 (-1)

很輕易的就用加法完成減法運算

1 補數的缺點

1. 有 +0, -0 之分

   0 在數學上是沒有正負之分的，不過對 0 做反轉會得到一長串的 1，這個就稱之為 -0。-0 的出現讓運算時需要再判斷有沒有 -0 存在，增加了複雜度

2. 需要循環進位

   當兩數相加有超出範圍的進位時，需要把超出的進位再加回去，不然會發生錯誤，請看下面的例子

   11111110 (-1) + 00000010 (2) = 100000000 (0) 這是錯誤的

   要把捨掉的 1 加回去答案才會變成 00000001 (1)

2 補數 (2's Complement)

1 補數存在負零和需要循環進位等等缺點，因此現今的電腦普遍採用的是 2 補數這種表示方式。

2 補數的負數算法是將位元反轉之後，再把結果加 1

例如 8 位元的 00000001 (1)，位元反轉變成 11111110，再加 1 成為 11111111 (-1) 使用 2 補數可以避免負零的產生，因為 0 在位元反轉之後是 11111111，加 1 之後是 1 00000000，把進位捨去一樣是原本的 0。兩數相加之後如果有進位也只需要把多出來的進位捨去即可，沒有需要循環進位的問題

WebAssembly 的規範中一律採用 2 補數 作為有號整數的表示方法

浮點數 (Floating point number)

浮點數也就是小數，不像整數一樣直接用 2 進位，而是有特殊的表示方式。

2 進位科學記號

單精度浮點數有 32 位元，以 2 進位科學記號表示

Ex：

• ​$0.25_{(十進位)} = 0.01_{(二進位)} = 1.0_{(bin)} \times 2^{-2}$​

• ​$0.3125_{(十進位)} = 0.0101_{(二進位)} = 1.01_{(bin)} \times 2^{-2}$​

• ​$4.5_{(十進位)} = 100.1_{(二進位)} = 1.001_{(bin)} \times 2^{2}$​

除了 0 之外，其他的數必定有 1 ，要讓小數點左邊只剩下最大的 1

單精度浮點數 (Single-precision) & 位元格式

浮點數的位元分成以下3個區域

• 正負號 (sign) 0 表示正數，1表示負數

• 指數 (exponent)

  • ​$2^{指數+127}$ 所以 0.25 的指數部份 (-2) 會用 01111101 (125) 表示

  • 指數值範圍在 1~254 之間，也就是實際值在 -126 ~ 127 之間，255 保留給特殊值，0 表示非規約形式 (下面會做說明)

• 有效數 (fraction)

  • 規約形式 (canonial) : 當指數部份的實際值大於 -127 (也就是加 127 之後大於 0)，把小數點左邊的 1 捨掉，取小數點後的部份靠左對齊

  • 非規約形式 (non - canonial) : 當指數部份的實際值小於或等於 -127，也就是相當接近 0 的數。這時候我們不再把小數點前留下一個 1 ，而是設法讓指數的實際值變成 -126，再取小數點後的部份靠左對齊

    • 指數部份是 0。雖然實際值應該會是 -127，但是在非規約形式下因為要設法讓他變成 -126，所以其實是 -126

• 特殊值

  數值	Sign	Exponent	Fraction
  ​$+ 0$​	0	全 0	全 0
  ​$-0$​	1	全 0	全 0
  ​$+ \infty$​	0	全 1	全 0
  ​$-\infty$​	1	全 1	全 0
  NaN 未定義(Not a Number)	1 或 0	全 1	不是全都 0

• 範例

  • 0.15625 $(1.01_{(bin)} \times 2^{-3})$​

    • Sign : 正數$\Rightarrow$ 0

    • Exponent : $-3+127 = 124 \Rightarrow 01111100$​

    • Fraction : $1.01 - 1 = 0.01 \Rightarrow 010000 \ldots 0$​

  • ​$-1.010_{(bin)} \times 2^{-128}$​

    • Sign : 負數$\Rightarrow 1$​

    • Exponent : 0 (non - canonial)

    • Fraction : $1.010_{(bin)} \times 2^{-128} = 0.0101_{(bin)} \times 2^{-126} \Rightarrow 01010000 \ldots 0$​

雙精度浮點數 (Double-precision)

和單精度的表示法一樣，不過 Exponent 有 11 位元，Fraction 有 52 位元

因此在 Exponent 的部份，變成 $2^{指數+1023}$，指數值範圍在 1 ~ 2046，0 一樣是非規約形式，2047 是特殊值

特殊值的定義也和單精度一樣

浮點數誤差

有蠻多小數無法用二進位整除，像是 0.3、0.7 ......所以得到的其實是非常接近的近似值

有些電腦或編譯器會針對誤差做一部份的修正，所以不一定會出錯，但是編寫程式的時候還是要注意誤差的問題

堆疊裡的數值型別

堆疊裡的數值型別有以下 4 種

1. i32 : 32 位元整數

2. i64 : 64 位元整數

3. f32 : 32 位元(單精度)浮點數

4. f64 : 64 位元(單精度)浮點數

在整數方面，無論是有號或無號整數，存進堆疊的時候會保持原來的位元形式，不會特別區分有號或無號。這個區分是依據不同的算術指令來達成不同的效果